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DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Parte de un conjunto de apuntes en Sistemas de Control
por
Eulogio T. Pérez


Definición

Para una matriz cuadrada A[n,n], el determinante de A, abreviado det(A), es un escalar definido como la suma de n! términos involucrando el producto de n elementos de la matriz, cadauno proveniente exactamente de una fila y columna diferente. Además, cada término de la suma está multiplicado por -1 ó +1 dependiendo del número de permutaciones del orden de las columnas que contenga.

 

Propiedades

det(AB) = det(A)det(B).

det(AT) = det(A).

det(AH) = conjugado(det(A)), en donde AH es la transpuesta conjugada (Hermitian) de A.

det(cA) = cn det(A).

Intercambiando cualquier par de columnas (filas) de una matriz se multiplica su determinante por -1.

Multiplicando cualquier columna (fila) de una matriz por c multiplica su determinante por c.

Agregando cualquier múltiplo de una columna (fila) de una matriz a otra no altera su determinante.

det(A) <> 0 si y sólo si A es no singular.

 

Determinante de Matrices Simples

det([a,b;c,d]) = ad-bc.

det([a,b,c;d,e,f;g,h,i]) = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.

El determinante de una matriz diagonal (pura, superior o inferior) es el producto de los elementos de su diagonal.

 

Determinante de Bloques de Matrices

B[m,n], C[m,n]: det([A,B;CT,D]) = det([D,CT;B,A])= det(A) det(D-CTA-1B).

B[m,n], C[m,n]: det([I,B;CT,I]) = det(I-BTC) = det(I-BCT) = det(I-CTB)= det(I-CBT).

A[m,m], D[n,n]: det([A,B;0,D]) = det(A) det(D).

A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; CD=DC: det([A,B;C,D]) = det(AD-BC).

A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; AC=CA: det([A,B;C,D]) = det(AD-CB).

A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; AB=BA: det([A,B;C,D]) = det(DA-CB).

A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; BD=DB: det([A,B;C,D]) = det(DA-BC).

 

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